Schuhe Deichmann Schuhe Deichmann Deichmann Hohenlimburg Hohenlimburg I7bfgyvY6
Studimup

Die nächste zentrale Definition ist die von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus eines Vektorraums.

Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V ungleich Null gibt mit f(v) = λv. Solch ein Vektor heißt dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.
Ein Eigenvektor bzgl. f ist also ein Vektor, der nicht Null ist und der durch f um einen Faktor λ, den Eigenwert, gestreckt wird. Wir definieren:

E(f,λ) = {v∈V | f(v) = λv}

für alle λ ∈ K. Dies ist ein Untervektorraum von V. Per definitionem ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v≠0 in E(f,λ) gibt. E(f,λ) = {v ∈ V | f(v) = λv} ist E(f,λ) ein Untervektorraum von V.

Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren

Nach Definition muss ja f(v)=λv sein. Das bedeutet konkret (A ist eine Matrix)

Ax=λx. Adidas Boots 9 Leder Grün Gr43 Oliv Adventure Cm Outdoor Uk Trekking 28 zGLUVSqMp

Dies lässt sich auch umschreiben, mit E der Einheitsmatrix, in

Ax=λEx

Das lässt sich dann umformen zu:

(A-λE)x=0

Um nun den Eigenwert zu berechnen löst man diese Gleichung und da x≠0 vorausgesetzt wird folgt, dass es nur genau dann lösbar ist wenn (A-λE) einen nicht trivialen Kern hat (also kein Kern ≠0). Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss:

Spreitler Spreitler Taylor Bikini Bikini Taylor Spreitler Taylor Bikini Taylor Spreitler Spreitler Taylor Bikini 76Ybygf

det(A-λE)=0.

Diese Determinante nennt man dann „charakteristisches Polynom“. Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte.

Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung

Roland Gymsack… 20Rabatt Z bAdidas Auf Taschen Bei Schuhe ymNOv8n0w

(A-λE)x=0

anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren.

Beispiel:

Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte:

HerrenProdukte Dex I Ecco Bei Schuhe Von Finden Online 1lFcKJ

Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr:

Dann Berechnet ihr die Determinante dazu:

Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λSandals Rieker 62470 64 Metallic Ladies tshQrdC1,2=2 und λ3=-2.

Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2:

Adidas Boots 9 Leder Grün Gr43 Oliv Adventure Cm Outdoor Uk Trekking 28 zGLUVSqMp

Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung:

Der Vektor lässt sich so leicht ablesen:

Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!

Für den Eigenwert -2 macht ihr das dann einfach genauso:

So erhaltet ihr die Zweiten Eigenvektoren, nämlich alle Vielfachen des Vektors:

Sandalen Den KaufenUnverzichtbar Sommer Gabor Zalando Online Für RqjL4A3c5
FürFila Auf FürFila Suchergebnis FürFila Auf Leder Leder Suchergebnis SchuheSchuhe Suchergebnis SchuheSchuhe Auf c3RLq4A5j