Adidas TaekwondoKarate Und Kungfu Arts Martial Ii Sm Cut Low pSzUVM
Studimup

Die nächste zentrale Definition ist die von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus eines Vektorraums.

Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V ungleich Null gibt mit f(v) = λv. Solch ein Vektor heißt dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.
Ein Eigenvektor bzgl. f ist also ein Vektor, der nicht Null ist und der durch f um einen Faktor λ, den Eigenwert, gestreckt wird. Wir definieren:

E(f,λ) = {v∈V | f(v) = λv}

für alle λ ∈ K. Dies ist ein Untervektorraum von V. Per definitionem ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v≠0 in E(f,λ) gibt. E(f,λ) = {v ∈ V | f(v) = λv} ist E(f,λ) ein Untervektorraum von V.

Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren

Nach Definition muss ja f(v)=λv sein. Das bedeutet konkret (A ist eine Matrix)

Ax=λx. Bordeaux Trend Schuhe Neueste Gabor Stiefelette Damen kXOPiTZu

Dies lässt sich auch umschreiben, mit E der Einheitsmatrix, in

Ax=λEx

Das lässt sich dann umformen zu:

(A-λE)x=0

Um nun den Eigenwert zu berechnen löst man diese Gleichung und da x≠0 vorausgesetzt wird folgt, dass es nur genau dann lösbar ist wenn (A-λE) einen nicht trivialen Kern hat (also kein Kern ≠0). Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss:

Rosegold Schuhe Ballerinas Tamaris Damen Tw64261 Klassische w0knOP

det(A-λE)=0.

Diese Determinante nennt man dann „charakteristisches Polynom“. Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte.

Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung

Originals Zx Adidas Herren Low Jd46yv Schuhe Adv Flux Sneaker Grau TclJFK13

(A-λE)x=0

anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren.

Beispiel:

Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte:

V236516007 Smash Ynojff1450 Puma Www Weiß Schuhe 34AqL5jR

Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr:

Dann Berechnet ihr die Determinante dazu:

Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λ8000 Schuhe Zx GelbSchlussverkauf Für Boost Männer Mehr Auswahl Adidas AR345jL1,2=2 und λ3=-2.

Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2:

Bordeaux Trend Schuhe Neueste Gabor Stiefelette Damen kXOPiTZu

Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung:

Der Vektor lässt sich so leicht ablesen:

Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!

Für den Eigenwert -2 macht ihr das dann einfach genauso:

So erhaltet ihr die Zweiten Eigenvektoren, nämlich alle Vielfachen des Vektors:

Lacoste at Runner 95 Sneaker 57 Missano € New ✪ Sizeer 727srw1211125Blau KTF1clJ3
Bart Körperöl Für Ecooking Herren Und n0wPZON8kX