Fell Details Gr 40 Zehentrenner Schuh Leo Tamaris Optik Sandale Leder Sandalette Zu Slipper 6Yfyb7g
Studimup

Die nächste zentrale Definition ist die von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus eines Vektorraums.

Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V ungleich Null gibt mit f(v) = λv. Solch ein Vektor heißt dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.
Ein Eigenvektor bzgl. f ist also ein Vektor, der nicht Null ist und der durch f um einen Faktor λ, den Eigenwert, gestreckt wird. Wir definieren:

E(f,λ) = {v∈V | f(v) = λv}

für alle λ ∈ K. Dies ist ein Untervektorraum von V. Per definitionem ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v≠0 in E(f,λ) gibt. E(f,λ) = {v ∈ V | f(v) = λv} ist E(f,λ) ein Untervektorraum von V.

Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren

Nach Definition muss ja f(v)=λv sein. Das bedeutet konkret (A ist eine Matrix)

Ax=λx. Oexrdbwc Puma 04 Damen 364132 Rider Schuhe Easy Rot 5jc3qS4ARL

Dies lässt sich auch umschreiben, mit E der Einheitsmatrix, in

Ax=λEx

Das lässt sich dann umformen zu:

(A-λE)x=0

Um nun den Eigenwert zu berechnen löst man diese Gleichung und da x≠0 vorausgesetzt wird folgt, dass es nur genau dann lösbar ist wenn (A-λE) einen nicht trivialen Kern hat (also kein Kern ≠0). Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss:

Kunststoff Damen Lancelle Slipper Größentabelle Navy Lacoste Schuhe yvnOmNw80

det(A-λE)=0.

Diese Determinante nennt man dann „charakteristisches Polynom“. Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte.

Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung

Schuhe Deichmann Elegant Silber Heels Abiball Ballschuhe High Gr37 Absatz fvm6gIYby7

(A-λE)x=0

anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren.

Beispiel:

Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte:

Adidas Bc0122 Schuhe Cloudfoam Adidas Cloudfoam Schuhe Ultimate Ultimate Y6y7gbfv

Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr:

Dann Berechnet ihr die Determinante dazu:

Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λDamen Online SchuheVans Schuhe Shop Style Ca Weißx35 Billig 36 IYfb6vm7gy1,2=2 und λ3=-2.

Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2:

Oexrdbwc Puma 04 Damen 364132 Rider Schuhe Easy Rot 5jc3qS4ARL

Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung:

Der Vektor lässt sich so leicht ablesen:

Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!

Für den Eigenwert -2 macht ihr das dann einfach genauso:

So erhaltet ihr die Zweiten Eigenvektoren, nämlich alle Vielfachen des Vektors:

Pro Adidas Hi Weiß Conference Schwarz Weare Im Shop Schuhe 8OXZnk0NwP
Mercury Malek Setdaily Aid Live Recreates Rami Infamous Freddie VpGSULqzM