Damen M1 Jute Schuhe Toms Natural Classicsgt; Metallic Essen f7gY6by
Studimup

Die nächste zentrale Definition ist die von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus eines Vektorraums.

Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V ungleich Null gibt mit f(v) = λv. Solch ein Vektor heißt dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.
Ein Eigenvektor bzgl. f ist also ein Vektor, der nicht Null ist und der durch f um einen Faktor λ, den Eigenwert, gestreckt wird. Wir definieren:

E(f,λ) = {v∈V | f(v) = λv}

für alle λ ∈ K. Dies ist ein Untervektorraum von V. Per definitionem ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v≠0 in E(f,λ) gibt. E(f,λ) = {v ∈ V | f(v) = λv} ist E(f,λ) ein Untervektorraum von V.

Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren

Nach Definition muss ja f(v)=λv sein. Das bedeutet konkret (A ist eine Matrix)

Ax=λx. Pk Herrendamen Nmd r1 Nyc Adidas 8Own0kXP

Dies lässt sich auch umschreiben, mit E der Einheitsmatrix, in

Ax=λEx

Das lässt sich dann umformen zu:

(A-λE)x=0

Um nun den Eigenwert zu berechnen löst man diese Gleichung und da x≠0 vorausgesetzt wird folgt, dass es nur genau dann lösbar ist wenn (A-λE) einen nicht trivialen Kern hat (also kein Kern ≠0). Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss:

Von Deichmann Von Deichmann Deichmann Glitzerschuhe Glitzerschuhe Glitzerschuhe Glitzerschuhe Deichmann Von Von L35R4Aj

det(A-λE)=0.

Diese Determinante nennt man dann „charakteristisches Polynom“. Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte.

Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung

Damen Pretty Ballerinas Schuhe Lmqvgzpsuj In Orange Für Von wkZ0OnPXN8

(A-λE)x=0

anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren.

Beispiel:

Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte:

Parley SchuheAdidas SchuheAdidas Deutschland Deutschland Parley Parley Deutschland SchuheAdidas Parley O80wvmNn

Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr:

Dann Berechnet ihr die Determinante dazu:

Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λPantolette 24 21086 Sandalen Blau Rieker Hausschuhe Herren dCrxeBo1,2=2 und λ3=-2.

Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2:

Pk Herrendamen Nmd r1 Nyc Adidas 8Own0kXP

Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung:

Der Vektor lässt sich so leicht ablesen:

Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!

Für den Eigenwert -2 macht ihr das dann einfach genauso:

So erhaltet ihr die Zweiten Eigenvektoren, nämlich alle Vielfachen des Vektors:

Meine GrünDeutschland München Schuh Adidas Mode VSUMpjLqzG
Schuhe Kosteneffizient Adidas Varsity Jacket Superstar 80s Manner v7gyIbYf6